Intéressant

L'approximation normale à la distribution binomiale

L'approximation normale à la distribution binomiale



We are searching data for your request:

Forums and discussions:
Manuals and reference books:
Data from registers:
Wait the end of the search in all databases.
Upon completion, a link will appear to access the found materials.

Les variables aléatoires avec une distribution binomiale sont connues pour être discrètes. Cela signifie qu'un nombre dénombrable de résultats peut survenir dans une distribution binomiale, avec une séparation entre ces résultats. Par exemple, une variable binomiale peut prendre une valeur de trois ou quatre, mais pas un nombre compris entre trois et quatre.

Avec le caractère discret d’une distribution binomiale, il est quelque peu surprenant qu’une variable aléatoire continue puisse être utilisée pour se rapprocher d’une distribution binomiale. Pour de nombreuses distributions binomiales, nous pouvons utiliser une distribution normale pour approximer nos probabilités binomiales.

Ceci peut être vu en regardant n lancer de pièces et laisser X soit le nombre de têtes. Dans cette situation, nous avons une distribution binomiale avec une probabilité de succès égale à p = 0,5. En augmentant le nombre de lancers, nous voyons que l'histogramme de probabilité ressemble de plus en plus à une distribution normale.

Déclaration de l'approximation normale

Chaque distribution normale est complètement définie par deux nombres réels. Ces nombres sont la moyenne, qui mesure le centre de la distribution, et l’écart type, qui mesure la propagation de la distribution. Pour une situation binomiale donnée, nous devons être en mesure de déterminer quelle distribution normale utiliser.

Le choix de la distribution normale correcte est déterminé par le nombre d'essais n dans le cadre binomial et la probabilité constante de succès p pour chacun de ces essais. L’approximation normale de notre variable binomiale est une moyenne de np et un écart type de (np(1 - p)0.5.

Par exemple, supposons que nous ayons deviné chacune des 100 questions d’un test à choix multiples, où chaque question comportait une bonne réponse sur quatre choix. Le nombre de réponses correctes X est une variable aléatoire binomiale avec n = 100 et p = 0,25. Ainsi, cette variable aléatoire a une moyenne de 100 (0,25) = 25 et un écart type de (100 (0,25) (0,75))0.5 = 4,33. Une distribution normale avec une moyenne de 25 et un écart type de 4,33 travaillera pour se rapprocher de cette distribution binomiale.

Quand l'approximation est-elle appropriée?

En utilisant certaines mathématiques, on peut montrer qu'il existe quelques conditions pour utiliser une approximation normale de la distribution binomiale. Le nombre d'observations n doit être assez grand et la valeur de p de sorte que les deux np et n(1 - p) sont supérieurs ou égaux à 10. Il s’agit d’une règle générale guidée par la pratique statistique. L’approximation normale peut toujours être utilisée, mais si ces conditions ne sont pas remplies, l’approximation risque de ne pas être très satisfaisante.

Par exemple, si n = 100 et p = 0,25, il est alors justifié d'utiliser l'approximation normale. Ceci est dû au fait np = 25 et n(1 - p) = 75. Étant donné que ces deux nombres sont supérieurs à 10, la distribution normale appropriée facilitera assez l’estimation des probabilités binomiales.

Pourquoi utiliser l'approximation?

Les probabilités binomiales sont calculées en utilisant une formule très simple pour trouver le coefficient binomial. Malheureusement, en raison des factorielles de la formule, il peut être très facile de rencontrer des difficultés de calcul avec la formule binomiale. L’approximation normale nous permet de contourner l’un de ces problèmes en travaillant avec un ami familier, un tableau de valeurs d’une distribution normale standard.

La détermination d'une probabilité qu'une variable aléatoire binomiale se situe dans une plage de valeurs est souvent fastidieuse à calculer. En effet, pour trouver la probabilité qu'une variable binomiale X est supérieur à 3 et inférieur à 10, il faudrait trouver la probabilité que X est égal à 4, 5, 6, 7, 8 et 9, puis additionnez toutes ces probabilités. Si l'approximation normale peut être utilisée, nous devrons plutôt déterminer les scores z correspondant à 3 et 10, puis utiliser un tableau de probabilités z-score pour la distribution normale standard.


Video, Sitemap-Video, Sitemap-Videos