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Comment prouver les lois de De Morgan

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En statistique mathématique et en probabilité, il est important de se familiariser avec la théorie des ensembles. Les opérations élémentaires de la théorie des ensembles ont des liens avec certaines règles dans le calcul des probabilités. Les interactions de ces opérations d'ensembles élémentaires d'union, d'intersection et du complément sont expliquées par deux déclarations connues sous le nom de lois de De Morgan. Après avoir énoncé ces lois, nous verrons comment les prouver.

Déclaration des lois de De Morgan

Les lois de De Morgan concernent l'interaction de l'union, l'intersection et le complément. Rappeler que:

  • L'intersection des ensembles UNE et B se compose de tous les éléments communs aux deux UNE et B. L'intersection est notée par UNEB.
  • L'union des ensembles UNE et B se compose de tous les éléments qui soit dans UNE ou B, y compris les éléments des deux ensembles. L'intersection est notée A U B.
  • Le complément de l'ensemble UNE se compose de tous les éléments qui ne sont pas des éléments de UNE. Ce complément est noté AC.

Maintenant que nous avons rappelé ces opérations élémentaires, nous verrons l'énoncé des lois de De Morgan. Pour chaque paire d'ensembles UNE et B

  1. (UNE ∩ B)C = UNEC U BC.
  2. (UNE U B)C = UNEC ∩ BC.

Esquisse de la stratégie de preuve

Avant de nous lancer dans la preuve, nous allons réfléchir à la façon de prouver les déclarations ci-dessus. Nous essayons de démontrer que deux ensembles sont égaux. La manière dont cela est fait dans une preuve mathématique se fait par la procédure de double inclusion. Le schéma de cette méthode de preuve est:

  1. Montrez que l’ensemble situé à gauche de notre signe égal est un sous-ensemble de l’ensemble situé à droite.
  2. Répétez le processus dans le sens opposé, en indiquant que l'ensemble à droite est un sous-ensemble de l'ensemble à gauche.
  3. Ces deux étapes permettent de dire que les ensembles sont en fait égaux. Ils sont constitués de tous les mêmes éléments.

Preuve de l'une des lois

Nous verrons comment prouver la première des lois de De Morgan ci-dessus. Nous commençons par montrer que (UNE ∩ B)C est un sous-ensemble de UNEC U BC.

  1. D'abord supposons que X est un élément de (UNE ∩ B)C.
  2. Cela signifie que X n'est pas un élément de (UNE ∩ B).
  3. Puisque l'intersection est l'ensemble des éléments communs aux deux UNE et B, l'étape précédente signifie que X ne peut pas être un élément des deux UNE et B.
  4. Cela signifie que X est doit être un élément d'au moins un des ensembles UNEC ou BC.
  5. Par définition, cela signifie que X est un élément de UNEC U BC
  6. Nous avons montré l'inclusion souhaitée du sous-ensemble.

Notre preuve est maintenant à moitié terminée. Pour le compléter, nous montrons l'inclusion du sous-ensemble opposé. Plus spécifiquement, nous devons montrer UNEC U BC est un sous-ensemble de (UNE ∩ B)C.

  1. Nous commençons par un élément X dans l'ensemble UNEC U BC.
  2. Cela signifie que X est un élément de UNEC ou ça X est un élément de BC.
  3. Ainsi X n'est pas un élément d'au moins un des ensembles UNE ou B.
  4. Alors X ne peut pas être un élément des deux UNE et B. Cela signifie que X est un élément de (UNE ∩ B)C.
  5. Nous avons montré l'inclusion souhaitée du sous-ensemble.

Preuve de l'autre loi

La preuve de l'autre déclaration est très similaire à la preuve que nous avons décrite ci-dessus. Tout ce qui doit être fait est de montrer une inclusion de sous-ensembles d'ensembles des deux côtés du signe égal.



Commentaires:

  1. Alric

    Je ne vois pas l'intérêt.

  2. Amun

    À mon avis, vous admettez l'erreur. Je peux le prouver.

  3. Joska

    la pensée gracieuse

  4. Bleecker

    Je m'excuse d'avoir interféré; Il y a une suggestion que nous devrions emprunter un chemin différent.

  5. Gram

    Vous autorisez l'erreur. Je propose d'en discuter. Écrivez-moi dans PM.

  6. Manny

    Je m'excuse, mais à mon avis, vous vous trompez. Écrivez-moi dans PM, nous parlerons.

  7. Calchas

    Je suis désolé, que j'interfère, mais vous ne pouviez pas donner un peu plus d'informations.

  8. Quintrell

    Sur quel hébergement votre ressource fonctionne-t-elle ?



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