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Introduction aux mathématiques vectorielles

Introduction aux mathématiques vectorielles


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Il s’agit d’une introduction élémentaire au travail sur les vecteurs, bien qu’elle soit assez complète. Les vecteurs se manifestent de différentes manières, depuis le déplacement, la vitesse et l'accélération jusqu'aux forces et aux champs. Cet article est consacré aux mathématiques des vecteurs. leur application dans des situations spécifiques sera traitée ailleurs.

Vecteurs et scalaires

UNE quantité vectorielle, ou vecteur, fournit des informations non seulement sur la magnitude, mais également sur la direction de la quantité. Lorsqu’on donne des indications pour se rendre à une maison, il n’est pas suffisant de dire que la distance est de 10 milles, il faut également indiquer la direction de ces 10 milles pour que les informations soient utiles. Les variables qui sont des vecteurs seront indiquées par une variable en gras, bien qu'il soit courant de voir des vecteurs avec des petites flèches au-dessus de la variable.

Tout comme nous ne disons pas que l’autre maison se trouve à moins de 10 milles, la grandeur d’un vecteur est toujours un nombre positif, ou plutôt la valeur absolue de la "longueur" du vecteur (bien que la quantité puisse ne pas être une longueur, cela peut être une vitesse, une accélération, une force, etc.) Un négatif devant un vecteur n'indique pas un changement de la magnitude, mais plutôt de la direction du vecteur.

Dans les exemples ci-dessus, la distance est la quantité scalaire (10 miles) mais déplacement est la quantité vectorielle (10 milles au nord-est). De même, la vitesse est une quantité scalaire tandis que la vitesse est une quantité vectorielle.

UNE vecteur unitaire est un vecteur qui a une magnitude de un. Un vecteur représentant un vecteur unitaire est aussi généralement en gras, bien qu’il ait un carat (^) dessus pour indiquer la nature unitaire de la variable. Le vecteur unitaire X, lorsqu'il est écrit avec un carat, est généralement lu comme "x-hat", car le carat ressemble un peu à un chapeau sur la variable.

le vecteur nul, ou vecteur nul, est un vecteur de magnitude zéro. Il est écrit comme 0 dans cet article.

Composants vectoriels

Les vecteurs sont généralement orientés sur un système de coordonnées, dont le plus populaire est le plan cartésien à deux dimensions. Le plan cartésien a un axe horizontal étiqueté x et un axe vertical étiqueté y. Certaines applications avancées des vecteurs en physique nécessitent l'utilisation d'un espace tridimensionnel dans lequel les axes sont x, y et z. Cet article traitera principalement du système à deux dimensions, bien que les concepts puissent être étendus avec un peu de soin en trois dimensions sans trop de problèmes.

Les vecteurs dans les systèmes de coordonnées multidimensionnelles peuvent être divisés en leurs vecteurs composants. Dans le cas bidimensionnel, il en résulte une composante x et un composante y. Lorsque vous divisez un vecteur en ses composants, le vecteur est la somme des composants suivants:

F = FX + Fy

thêtaFXFyF

FX / F = cos thêta et Fy / F = péché thêtace qui nous donne
FX
= F cos thêta et Fy = F péché thêta

Notez que les chiffres ici sont les magnitudes des vecteurs. Nous connaissons la direction des composants, mais nous essayons de trouver leur magnitude. Nous extrayons donc les informations directionnelles et effectuons ces calculs scalaires pour déterminer la magnitude. Une application plus poussée de la trigonométrie peut être utilisée pour trouver d'autres relations (telles que la tangente) reliant certaines de ces quantités, mais je pense que cela suffit pour le moment.

Pendant de nombreuses années, les seules mathématiques apprises par un élève sont les mathématiques scalaires. Si vous voyagez 5 milles au nord et 5 milles à l’est, vous avez parcouru 10 milles. L'ajout de quantités scalaires ignore toutes les informations sur les directions.

Les vecteurs sont manipulés un peu différemment. La direction doit toujours être prise en compte lors de la manipulation.

Ajout de composants

Lorsque vous ajoutez deux vecteurs, c'est comme si vous preniez les vecteurs et que vous les placiez bout à bout pour créer un nouveau vecteur allant du point de départ au point final. Si les vecteurs ont la même direction, cela signifie simplement que l’on ajoute les magnitudes, mais s’ils ont des directions différentes, cela peut devenir plus complexe.

Vous ajoutez des vecteurs en les décomposant en leurs composants, puis en les ajoutant, comme ci-dessous:

une + b = c
uneX
+ uney + bX + by =
( uneX + bX) + ( uney + by) = cX + cy

Les deux composantes x donneront la composante x de la nouvelle variable, tandis que les deux composantes y donneront la composante y de la nouvelle variable.

Propriétés de l'addition de vecteur

L'ordre dans lequel vous ajoutez les vecteurs n'a pas d'importance. En fait, plusieurs propriétés de l'addition scalaire sont valables pour l'addition de vecteurs:

Propriété d'identité de l'addition de vecteur
une
+ 0 = une
Propriété inverse de l'addition de vecteur
une
+ -une = une - une = 0
Propriété réfléchissante de l'addition de vecteur
une
= une
Propriété commutative de l'addition de vecteur
une
+ b = b + une
Propriété associative d'addition de vecteur

(une + b) + c = une + (b + c)
Propriété transitive d'addition de vecteur

Si une = b et c = b, puis une = c

L’opération la plus simple qui puisse être effectuée sur un vecteur consiste à le multiplier par un scalaire. Cette multiplication scalaire modifie la magnitude du vecteur. En d'autres termes, cela rend le vecteur plus long ou plus court.

Lors de la multiplication d'un scalaire négatif, le vecteur résultant pointe dans la direction opposée.

le produit scalaire de deux vecteurs est un moyen de les multiplier ensemble pour obtenir une quantité scalaire. Ceci est écrit comme une multiplication des deux vecteurs, avec un point au milieu représentant la multiplication. En tant que tel, il est souvent appelé le produit scalaire de deux vecteurs.

Pour calculer le produit scalaire de deux vecteurs, vous considérez l'angle entre eux. En d’autres termes, s’ils partageaient le même point de départ, quelle serait la mesure de l’angle (thêta) entre eux. Le produit scalaire est défini comme:

une * b = un B cos thêta

un BAbba

Dans les cas où les vecteurs sont perpendiculaires (ou thêta = 90 degrés), cos thêta sera zéro. Par conséquent, le produit scalaire des vecteurs perpendiculaires est toujours zéro. Lorsque les vecteurs sont parallèles (ou thêta = 0 degrés), cos thêta est égal à 1, le produit scalaire est donc simplement le produit des grandeurs.

Ces petits faits intéressants peuvent être utilisés pour prouver que, si vous connaissez les composants, vous pouvez éliminer complètement le besoin de thêta avec l'équation (en deux dimensions):

une * b = uneX bX + uney by

le produit vectoriel est écrit sous la forme une X b, et est généralement appelé le produit croisé de deux vecteurs. Dans ce cas, nous multiplions les vecteurs et au lieu d’obtenir une quantité scalaire, nous obtenons une quantité vectorielle. C’est le plus délicat des calculs vectoriels que nous allons traiter, comme il est ne pas commutative et implique l'utilisation du redouté règle de la main droite, auquel je reviendrai sous peu.

Calcul de la magnitude

Encore une fois, nous considérons deux vecteurs tirés du même point, avec l’angle thêta entre eux. Nous prenons toujours le plus petit angle, donc thêta sera toujours dans une plage de 0 à 180 et le résultat ne sera donc jamais négatif. La magnitude du vecteur résultant est déterminée comme suit:

Si c = une X b, puis c = un B péché thêta

Le produit vectoriel des vecteurs parallèles (ou antiparallèles) est toujours nul

Direction du vecteur

Le produit vectoriel sera perpendiculaire au plan créé à partir de ces deux vecteurs. Si vous imaginez que l'avion est à plat sur une table, la question devient de savoir si le vecteur résultant monte (notre "sortie" de la table, selon notre perspective) ou vers le bas (ou "dans" la table, selon notre perspective).

La redoutée règle de la main droite

Afin de comprendre cela, vous devez appliquer ce qu'on appelle le règle de la main droite. Quand j’ai étudié la physique à l’école, j’ai détesté la règle de la main droite. Chaque fois que je l'utilisais, je devais sortir le livre pour voir comment cela fonctionnait. J'espère que ma description sera un peu plus intuitive que celle qui m'a été présentée.

Si tu as une X b vous placerez votre main droite le long du b de sorte que vos doigts (sauf le pouce) puissent se courber pour pointer une. En d'autres termes, vous essayez en quelque sorte de faire l'angle thêta entre la paume et quatre doigts de votre main droite. Le pouce, dans ce cas, restera droit (ou hors de l'écran, si vous essayez de le faire jusqu'à l'ordinateur). Vos jointures seront grossièrement alignées avec le point de départ des deux vecteurs. La précision n'est pas essentielle, mais je veux que vous en ayez l'idée car je n'ai pas d'image à fournir.

Si, toutefois, vous envisagez b X une, vous ferez le contraire. Vous allez mettre votre main droite le long une et pointez vos doigts b. Si vous essayez de le faire sur l'écran de l'ordinateur, vous le trouverez impossible, alors utilisez votre imagination. Vous constaterez que, dans ce cas, votre pouce imaginatif pointe vers l'écran de l'ordinateur. C'est la direction du vecteur résultant.

La règle de droite montre la relation suivante:

une X b = - b X une

cabc

cX = uney bz - unez by
cy
= unez bX - uneX bz
cz
= uneX by - uney bX

un BcXcyc

Mots finaux

À des niveaux plus élevés, les vecteurs peuvent devenir extrêmement complexes. Des cours complets à l'université, tels que l'algèbre linéaire, consacrent beaucoup de temps aux matrices (que j'ai gentiment évitées dans cette introduction), aux vecteurs et espaces vectoriels. Ce niveau de détail dépasse le cadre de cet article, mais il devrait fournir les bases nécessaires à la plupart des manipulations de vecteurs effectuées dans la classe de physique. Si vous avez l'intention d'étudier la physique plus en profondeur, vous découvrirez les concepts de vecteur plus complexes au cours de votre formation.


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